Сучасні методи вирішення конструкційних задач при проектуванні різних типів вимірювальних трансформаторів

Вимірювальні трансформатори струму та напруги є важливими елементами енергетичної системи. Вони працюють подібно до силових трансформаторів, але не передають потужність. Їхнє завдання полягає у точному перетворенні струмів або напруг під час роботи системи, які потім використовуються для вимірювання та захисту. Ці пристрої є дуже точними, і їхня точність визначається стандартами IEC/EN. Вимірювальні трансформатори встановлюються на всіх трансформаторних підстанціях, у спеціалізованих високовольтних та високовольтних лабораторіях, а також у випробувальних та навчальних лабораторіях. Тому вимоги до їхньої конструкції дуже різняться залежно від їхнього типу (струму, напруги або комбіновані), функції (вимірювальні, захисні) та робочої напруги (висока, середня та низька). Вимоги стосуються не лише експлуатації, але й міцності ізоляційної системи та, іноді, механічної міцності.

Ключові слова: вимірювальні трансформатори; вимірювальні трансформатори струму; вимірювальні трансформатори напруги; точність; методи проектування

1. Вступ

Ця стаття має на меті охопити розробників різноманітних вимірювальних трансформаторів та показати їм можливості, які надають чисельні польові методи. Використання цих методів для підтримки процесу проектування дозволяє точно оцінити властивості пристрою під час роботи. Таким чином, це заощаджує час та кошти на конструювання та випробування наступних прототипів.

Початок розвитку енергетичної системи є також початком виробництва та використання індуктивних вимірювальних трансформаторів. Перші примітивні вимірювальні трансформатори з'явилися близько 100 років тому. У 1899 році компанія Siemens запатентувала перший вимірювальний трансформатор струму. Спочатку електричним вимірюванням та вимірювальним трансформаторам не приділялося належної уваги. Проблеми точності, магнітні кола, ізоляція та перехідні процеси не викликали інтересу. Перші наукові статті про вимірювальні трансформатори з'явилися лише після 1906 року.

Зі збільшенням переданої потужності та напруги ліній електропередачі вимірювальні трансформатори стали важливим елементом вимірювальної системи, і вимоги до їхньої точності почали зростати. Розвиток конструкції залежить насамперед від прогресу в матеріалах та технологіях, і тому лише наприкінці 1950-х років електромагнітні процеси у вимірювальних трансформаторах стали предметом інтересу. Вирішальним моментом для розвитку вимірювальних трансформаторів став винахід холоднокатаних кремнієвих листів, що дозволило досягти вищої точності перетворення та зменшити розміри пристроїв. Сьогодні ще кращих результатів можна досягти з використанням пермалоєвих або нанокристалічних листів.

У минулому для проектування вимірювальних трансформаторів використовувалися методи, розроблені для проектування силових трансформаторів, починаючи від класичних праць Роговського до праць Рота, Рабінса та Єзерського [1].

Ці методи обмежено використовували польовий опис явищ у вимірювальних трансформаторах. Різні вимоги до вимірювальних трансформаторів порівняно з силовими трансформаторами та численний експериментальний досвід призвели до появи кількох праць авторів. Однак більшість авторів використовували аналітичні та експериментальні методи, застосовуючи еквівалентну схему (Рисунок 1) вимірювального трансформатора, яка швидко та легко дає результати у вигляді похибок у спроектованому вимірювальному трансформаторі, але вимагає правильного розрахунку параметрів еквівалентної схеми.

Ось переклад абзацу з урахуванням вашого прикладу:

Рисунок 1. Ілюструє еквівалентні схеми (а) трансформатора струму та (b) трансформатора напруги, де: \( \mathbf{I}1\), \( \mathbf{I}2\) – комплексні первинний та вторинний струми, \( \mathbf{I}0 \) – комплексний струм холостого ходу, \( \mathbf{I}{Fe} \), \( \mathbf{I}\mu \) – комплексні складові струму холостого ходу, \( \mathbf{U}1 \), \( \mathbf{U}2 \) – комплексні первинна та вторинна напруги відповідно, \( R_1 \), \( R_2 \) – опори первинної та вторинної обмоток відповідно, \( X_{1_r}\), \( X_{2_r}\) – реактивні опори розсіювання обмоток, \( R_{F_e} \) представляє втрати в осерді, а \( X_\mu \) – реактивний опір намагнічування.

Аналітичні методи та емпіричні формули, що використовуються для розрахунку параметрів, дають наближені результати, іноді навіть відмінні від фактичного стану, і є джерелом похибок у проектних розрахунках. Як наслідок, необхідно виготовити певну кількість прототипів, які після випробувань доводиться відбраковувати, що є дорогим і трудомістким.

З'явилися також конструкції, відмінні від індуктивних вимірювальних трансформаторів [2], такі як електронні пристрої, що використовують слабкі сигнали від котушки Роговського, оптоелектронні вимірювальні трансформатори на основі закону Фарадея та ефекту Покельса з використанням оптичних волокон, а також вимірювальні трансформатори, що використовують мікрохвилі та так звану технологію Bluetooth. Однак ці рішення поки що не набули широкого поширення, оскільки вони не є такими точними та надійними, як індуктивні вимірювальні трансформатори.

Проблеми з проектуванням дедалі точніших індуктивних вимірювальних трансформаторів продовжують існувати. Інженери продовжують працювати над удосконаленням як конструкції вимірювальних трансформаторів, так і методів проектування. Хоча принцип дії вимірювальних трансформаторів такий самий, як і силових трансформаторів, завдання вимірювальних трансформаторів, а отже, й проблеми, з якими стикаються розробники під час проектування, є зовсім іншими.

Вимоги до вимірювальних трансформаторів стосуються перетворення струмів або напруг з високою точністю і є різними для вимірювальних та захисних вимірювальних трансформаторів. Концентрація проблем конструювання та розрахунку, що також зустрічаються при проектуванні інших перетворювачів та електричних пристроїв, у випадку вимірювальних трансформаторів (особливо високовольтних та високовольтних) посилюється їхніми функціями обліку та захисту.

Точне перетворення струмів або напруг під час роботи системи необхідне для точних вимірювань та належної роботи захисних пристроїв. Точність вимірювальних трансформаторів визначається стандартами [3,4,5,6,7,8].

Вимірювальні трансформатори струму є частиною вимірювальної системи та забезпечують вимірювання робочих параметрів системи, включаючи вимірювання потоку енергії. Отже, вони впливають на фінансові розрахунки між споживачами електроенергії. Коефіцієнт трансформації струму трансформаторів струму та коефіцієнт трансформації напруги трансформаторів напруги повинні забезпечувати безпеку персоналу та вимірювальних пристроїв. Незалежно від первинного струму трансформатора струму, вторинний струм зазвичай повинен становити 5 А або іноді 1 А. Аналогічно, вторинна напруга для трансформаторів напруги завжди повинна становити 100 В. Клас точності вимірювальних трансформаторів визначається характеристиками похибок струму або напруги та фазовим зсувом (допустимі значення наведені в стандартах IEC/EN).

Стандарти IEC/EN [3–6] визначають похибки трансформації як похибки струму або напруги:

(1)

\[
\Delta_i = \frac{I_s K_n - I_p}{I_p} \cdot 100\%
\]

\[
\Delta_u = \frac{U_s K_n - U_p}{U_p} \cdot 100\%
\]

and phase displacements:

(2)

\[
\begin{aligned}
\delta_i &= \varphi_{is} - \varphi_{ip} \\
\delta_u &= \varphi_{us} - \varphi_{up}
\end{aligned}
\]

де \(I_p\), \(I_s\) та \(U_p\), \(U_s\) — середньоквадратичні значення первинного та вторинного струму й напруги відповідно, \(\varphi_{ip}\), \(\varphi_{is}\) та \(\varphi_{up}\), \(\varphi_{us}\) — фазові зсуви цих струмів та напруг відповідно, а \(K_n\) — коефіцієнт трансформації ТС або ТН.

Стандарт вимагає, щоб для окремих класів точності трансформаторів струму похибки трансформації не перевищували значень, наведених у (Таблиця 1 та Таблиця 2) при різних струмах, що відповідають відсоткам номінального струму. Для класів S вимоги також застосовуються до випробувань при 1% номінального струму.

Таблиця 1. Стандартні класи точності вимірювальних трансформаторів струму згідно з IEC/EN 61869-2.

де \(I_{pn}\) — номінальний первинний струм трансформатора струму, тобто струм, на який він був розрахований і з яким він повинен працювати (1) та (2).

Таблиця 2. Стандартні класи точності вимірювальних трансформаторів напруги згідно з IEC/EN 61869-3.

Під час випробувань на точність вимірювальних трансформаторів напруги первинна напруга становить 80% \(U_{pn}\), а напруга захисту — 5% від номінальної напруги (1) та (2).

Вимірювальні трансформатори є прецизійними пристроями; похибка струму або напруги (1) при номінальному значенні повинна бути меншою за кілька сотих відсотка, а фазовий зсув (2) вимірюється в хвилинах (похибка в 10 хвилин дорівнює 0.17 градуса).

Захисні вимірювальні трансформатори бувають двох типів: P (захисні) для захисту від усталених перевантажень по струму та TP (захист від перехідних процесів) для захисту від перехідних процесів під час короткого замикання на лінії електропередачі, коли первинний струм має експоненційну складову.

Клас точності трансформаторів струму першого типу визначається максимальним значенням сумарної похибки при заданому номінальному навантаженні вимірювального трансформатора при струмі перевантаження, що відповідає встановленому первинному струму, середньоквадратичне значення якого є кратним номінальному струму \(I_{pALF} = ALF \cdot I_{pn}\), де \(ALF\) означає коефіцієнт граничної кратності.

Коефіцієнт граничної кратності \(ALF\):

(3)

\[ALF=\frac{IpALF}{Ipn}\]

PX, TPY та TPZ є трансформаторами струму для захисту від перехідних процесів під час короткого замикання на лінії електропередачі, але їхня конструкція відрізняється. TPX та TPY мають великі, важкі осердя збільшеного розміру, тоді як TPZ (найбільш поширений) має осердя, лінеаризовані за допомогою повітряних зазорів.

Вимоги до них також повинні бути різними.

Оцінка миттєвої форми кривої струму похибки здійснюється на основі участі неперіодичної складової в кривій первинного струму короткого замикання [9]:

(4)

\[ 
i_p = \sqrt{2} I_{psc} \left\{ \cos(\omega t + \Theta) - \cos\Theta \cdot e^{\frac{t}{T_p}} \right\}
\]

де: \(T_p = \frac{L_p}{R_p}\) — еквівалентна стала часу первинного кола; \(\Theta\) — фазовий кут, при якому сталося коротке замикання в первинному колі.

Миттєвий струм похибки \(i_\epsilon\) є різницею між миттєвими значеннями вторинного струму \(i_s\), помноженого на номінальний коефіцієнт трансформації \(K_n\), та первинного струму \(i_p\):

(5)

\[
i_{\varepsilon} = K_n i_s - i_p
\]

Клас трансформаторів струму першого типу, TP, визначається миттєвою піковою похибкою \(\hat{\epsilon}\), але для TPY залишковий магнітний потік не може перевищувати 10% від потоку насичення. Миттєва пікова похибка \(\hat{\epsilon}\):

(6)

\[
  \hat{\varepsilon} = \frac{\hat{i}_{\varepsilon}}{\sqrt{2} I_{psc}} \cdot 100\%
  \]

де \(I_{psc}\) — номінальний первинний струм короткого замикання, тобто середньоквадратичне значення первинного симетричного струму короткого замикання, на якому базується номінальна точність характеристик трансформатора струму.

Для TPZ залишковий магнітний потік практично незначний, і точність визначається миттєвою піковою похибкою змінної складової струму \(\hat{\epsilon}_{ac}\):

(7)

\[
  \hat{\varepsilon}_{ac} = \frac{\hat{i}_{\varepsilon ac}}{\sqrt{2} I_{psc}} \cdot 100\%
  \]

де \(\hat{i}_{\epsilon ac}\) — амплітуда змінної складової струму похибки.

Подальші частини цієї статті структуровані наступним чином.

Розділ 2 представляє числову модель вимірювальних трансформаторів, тобто наводить польові рівняння, що випливають з рівнянь Максвелла і відповідають різним задачам проектування.

Розділ 3 послідовно представляє проблеми проектування вимірювальних трансформаторів, які потребують точного вирішення. Розраховані на основі наближених аналітичних моделей, вони не враховують більшість фізичних явищ, які враховуються в тривимірних польово-контурних розрахунках. Результати моделювання порівнюються з результатами аналітичних формул та експериментальних випробувань на реальних моделях. Розглядаються наступні проблеми: 1. Реактивний опір розсіювання обмоток; 2. Пряме визначення характеристик амплітудних похибок та фазового зсуву; 3. Робота трансформаторів струму в перехідних режимах; 4. Лінеаризація осердь трансформаторів струму за допомогою повітряних зазорів; 5. Робота вимірювальних трансформаторів при спотворених напругах живлення; 6. Пікове значення напруги при розімкнутій вторинній обмотці трансформатора струму; 7. Осердя, що складаються з різних магнітних матеріалів; 8. Формування ізоляційної системи високовольтних та середньовольтних трансформаторів.

Практичні висновки дослідження представлені в розділі 4.

2. Числова модель вимірювальних трансформаторів

Числовий аналіз проводився з використанням 3D польово-контурного методу шляхом об'єднання рівнянь Максвелла у фізичній області вимірювального трансформатора з рівнянням контуру з навантаженням, підключеним до вторинних виводів вимірювального трансформатора [10–30].

1. Електричне поле в ізоляційній системі (після введення скалярного електричного потенціалу E=−∇V, де E — напруженість електричного поля) описується рівнянням Лапласа:

(8)

\(\nabla^2 V = 0\)

У електростатичних полях поверхні електродів, очевидно, матимуть задані граничні умови потенціалу (електричний потенціал \(V\) має постійне значення).

2. Електромагнітне поле, створене синусоїдальними струмами, дозволяє використовувати комплексні числа та описувати електромагнітне поле рівнянням Пуассона, що випливає з рівнянь Максвелла, використовуючи комплексний магнітний векторний потенціал \(\mathbf{A}\) \((\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\)):

(9)

\( \nabla^2 \underline{A} - \mu \nabla \left( \frac{1}{\mu} \right) \times \nabla \times \underline{A} = -\mu \underline{J_w} \)

де \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\), \(\mathbf{J}_w\) — комплексні вектори магнітного векторного потенціалу, вектори індукції та напруженості магнітного поля, а також густина вимушених струмів відповідно.

Рівняння Пуассона дозволяє визначити розподіл магнітного поля, коли відомі первинний та вторинний струми вимірювального трансформатора.

3. Рівняння типу Гельмгольца, записане в комплексній часово-гармонійній формі:

(10)

\( \nabla^2 \underline{A} - \mu \nabla\left( \frac{1}{\mu} \right) \times \nabla \times \underline{A} - j\omega\mu\sigma \underline{A} = -\mu \underline{J}_{w} \)

(11)

\( \underline{\Psi} = \frac{n_s}{S_s} \int_{\Omega_s} \underline{A} \cdot l_s \, dv \)

(12)

\( \underline{U}_s = j\omega \underline{\Psi} = (R + j\omega) \underline{I}_s \)

де \(\mathbf{A}\) — комплексний магнітний векторний потенціал \((\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\)), \(\Psi\) — комплексний магнітний потік, що проходить через вторинну котушку, \(I_s\) — комплексний вторинний струм, а \(\omega\) — кутова частота напруги. Граничні умови: \(\mathbf{A} \times \mathbf{n} = 0 та V = 0\) для електричного скалярного потенціалу на межі всієї системи з навколишнім повітрям.

\(R\) та \(L\) — відповідно опір та індуктивність навантаження вторинної обмотки, \(\mu\) — проникність, а \(\gamma\) — провідність матеріалів. \(\mathbf{l}_s\) — одиничний дотичний вектор вздовж напрямку вторинного струму в обмотці об'ємом \(\Omega_s, а (S_s\) — площа поперечного перерізу цієї обмотки з кількістю витків \(n_s\).

(13)

\( \nabla \times \left( \frac{1}{\mu} \nabla \times \mathbf{A} \right) = \sigma \left( -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} - \nabla V \right) \)

(14)

\( \Psi = \frac{n_s}{S_s} \int_{\Omega_s} \mathbf{A} \cdot \mathbf{l}_s d\nu \)

(15)

\( u_s = \frac{d\Psi}{dt} = Ri_s + L\frac{di_s}{dt} \)

де \(\mathbf{A}\), \(\Psi\) та \(i_s\) — величини, що змінюються в часі, а саме магнітний векторний потенціал, потік та вторинний струм відповідно; \(\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\); а граничні умови: \(\mathbf{A} \times \mathbf{n} = 0\) та \(V = 0\) для електричного скалярного потенціалу на межі всієї системи з навколишнім повітрям. Решта символів такі ж, як і в рівняннях (10)–(12).

Рівняння дифузії дозволяє визначити не тільки розподіл магнітного поля, але й форми кривих індукованих струмів.

3. Новий підхід до проектування вимірювальних трансформаторів використовує польові та польово-контурні методи для оптимізації конструкції

Аналітичні та експериментальні методи не є дуже точними. Новий підхід до проектування вимірювальних трансформаторів передбачає використання польових та польово-контурних методів для оптимізації конструкції. Польові методи, які інтенсивно розвиваються з початку 1970-х років, базуються на рівняннях Максвелла [10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30]. Використання чисельних методів скінченних елементів, скінченних різниць або граничних елементів має загальні властивості, що дозволяє застосовувати їх до будь-якого конструктивного рішення.

У випадку деяких конструкцій (складні ізоляційні системи, осердя з повітряними зазорами) та специфічних аварійних режимів, таких як перевантаження по струму або розмикання вторинного кола трансформатора струму під час роботи, польові методи є навіть необхідними. Це також стосується конструкцій та режимів роботи вимірювальних трансформаторів, для яких вимірювання обтяжене значною похибкою або є неможливим через відсутність відповідних джерел живлення.

Вимірювальні трансформатори працюють навантаженими на певний зовнішній імпеданс. Завдання моделювання полягає у визначенні значення вторинного струму або напруги при відомому значенні первинного струму або напруги, що вимагає використання польово-контурного методу. Необхідно враховувати нелінійність характеристик магнітних матеріалів, що призводить до нелінійності рівнянь, які описують задачу.

Оцінка роботи вимірювального трансформатора при несинусоїдальному живленні або захисного трансформатора TPZ при короткому замиканні в лінії електропередачі в перехідному режимі (для якого він призначений) вимагає використання повного просторово-часового польово-контурного аналізу.

Високовольтні та середньовольтні вимірювальні трансформатори створюють багато проблем щодо електричної міцності ізоляції, особливо комбіновані трансформатори, де елементи трансформаторів струму та напруги з діаметрально протилежними потенціалами розташовані поруч в одному корпусі.

3.1. Вирішення проблем під час проектування вимірювальних трансформаторів

Тривимірний метод скінченних елементів є перевіреним та ефективним інструментом для інженерів при оцінці властивостей електромагнітних пристроїв, таких як двигуни, трансформатори та інші типи перетворювачів.

Тому використовуються тривимірні моделі вимірювальних трансформаторів, а деякі проблеми вирішуються за допомогою чисельного польово-контурного методу.

Використовуючи польово-контурні методи, на етапі проектування можна безпосередньо визначити як усталені (Таблиця 1, Таблиця 2, Таблиця 3 та Таблиця 4), так і перехідні похибки (Таблиця 5) вимірювальних трансформаторів без необхідності використання еквівалентної схеми [17]. Однак, для визначення метрологічних характеристик вимірювальних трансформаторів інженери все ще часто використовують загальновідомі еквівалентні схеми (Рисунок 1) [9]. Точність визначення цих характеристик залежить від правильного розрахунку параметрів еквівалентної схеми вимірювального трансформатора. Нижче представлені структурні проблеми, які неможливо точно вирішити за допомогою аналітичних або емпіричних формул на етапі проектування.

Таблиця 3. Стандартні класи точності захисних трансформаторів струму згідно з IEC/EN 61869-2.

Під час випробувань на точність захисних трансформаторів струму струм становить 5% або 10% від номінального струму \(I_{pn}\).

Таблиця 4. Стандартні класи точності захисних трансформаторів напруги згідно з IEC/EN 61869-3.

Під час випробувань на точність захисних трансформаторів напруги напруга становить 3% або 6% від номінальної напруги \(U_{pn}\).

Таблиця 5. Границі похибок для захисних трансформаторів струму TPX, TPY та TPZ.

3.1.1. Реактивний опір розсіювання обмоток

Моделювання роботи вимірювального трансформатора за допомогою еквівалентної схеми (Рисунок 1) стає проблематичним також у режимах, що відрізняються від номінального (це стосується і захисних трансформаторів під час перехідного процесу в лінії електропередачі), через значну мінливість параметрів схеми. Це є наслідком як зміни стану насичення осердя, так і зміни просторового розподілу ліній магнітного поля, що призводить до появи потоків, пов'язаних з частинами обмоток навіть при зустрічному включенні. Індукуються електрорушійні сили, які не відображаються в еквівалентній схемі, де обмотка моделюється зосередженими елементами. Це явище відоме та описане як подвійне розсіювання.

Реактивний опір розсіювання прохідних кабельних трансформаторів струму кільцевої та рамкової конструкції може бути наближено визначений з емпіричної залежності \(X_{2r} = R_s \cdot \text{tg}\varphi_s\), де значення \(\text{tg}\varphi_s\) для вторинної обмотки залежить від її розташування та визначається експериментально [9].

Аналітичні формули для розрахунку реактивних опорів розсіювання обмоток \(X_{1r}\), \(X_{2r}\) наведені в літературі [1,9]:

(16)

  \( X_{r1} = 7.9 \times 10^{-6} f n_p^2 \frac{2 \pi r_m}{b_{1m}} \left( \frac{\delta}{2} + \frac{a_1}{3} \right), \quad
  X_{r2} = 7.9 \times 10^{-6} f n_s^2 \frac{2 \pi r_m}{b_{2m}} \left( \frac{\delta}{2} + \frac{a_2}{3} \right) \)

де \(r_m\) — середній радіус міжвиткового зазору; \(n_p\), \(n_s\) — кількість витків первинної та вторинної обмоток; \(b_{1m}\), \(b_{2m}\) — еквівалентна довжина котушок обмоток; \(\delta\) — ширина міжвиткового зазору; \(a_1\), \(a_2\) — висота котушок обмоток.

Ці формули застосовуються лише до конструкції трансформатора з циліндричними обмотками, розміщеними коаксіально на осерді.

Для решти конструкцій аналітичних або емпіричних формул немає. З іншого боку, цей параметр еквівалентної схеми значно впливає на аналітичні розрахунки похибок трансформації та оцінку класу точності вимірювального трансформатора під час проектування. Крім того, в режимі перевантаження по струму значення реактивного опору розсіювання вторинної обмотки \(X_{2r}\) відрізняється від значення цього реактивного опору під час роботи в номінальному режимі. Це пов'язано з насиченням осердя в режимі перевантаження по струму трансформатора струму. Тому не можна вважати, що реактивний опір розсіювання \(X_{2r}\) є постійною величиною.

Дослідники, які займаються вимірювальними трансформаторами, запропонували використовувати польові методи для розрахунку важливого параметра при проектуванні вимірювальних трансформаторів — реактивного опору розсіювання [12,13,14,15,16,17,18].

Нижче наведено порівняння результатів розрахунків та вимірювань для трансформатора напруги, який відповідає вимогам використання формули (6).

Модель вимірювального трансформатора, що використовується в польово-контурному методі, має розподілені параметри і, таким чином, дозволяє враховувати індуковані напруги в частинах обмоток. Загальний реактивний опір розсіювання обмоток, тобто реактивний опір короткого замикання вимірювального трансформатора, приведений до вторинної сторони, може бути визначений з магнітної енергії, пов'язаної з потоком розсіювання, на основі розподілу магнітного поля в стані рівноваги ампер-витків вимірювального трансформатора (Рисунок 2) \(X_r = X''{1r} + X{2r}\).

Рисунок 2. Розподіл магнітного потоку розсіювання в площині, що проходить через вісь симетрії трансформатора напруги 15/√3/0.1/√3 кВ.

Для розрахунку електромагнітного поля, створеного синусоїдальними струмами, використовується рівняння Пуассона з використанням комплексного магнітного векторного потенціалу \(\mathbf{A}\) (9). Якщо при розрахунку реактивного опору обмоток припускалося синусоїдальне коливання значень поля, тобто еквівалентна прямолінійна характеристика намагнічування, що проходить через точку \((B_m), (H_m)\), прийнята в кожній точці області, то для магнітно лінійних або лінеаризованих систем для заданої робочої точки енергетична формула набуває вигляду:

(17)

  \( W_m = \frac{1}{2} \int_v \left( \int_0^B \mathbf{H} \cdot d\mathbf{B} \right) dv = \frac{1}{2} \int_v \mathbf{H} \cdot \mathbf{B} \, dv = \frac{1}{2} \int_v \mathbf{A} \cdot \mathbf{J} \, dv \)

(18)

  \( X_r = \omega L = \omega \frac{2W_m}{I_{sm}^2} \)

де \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\), \(\mathbf{H}\), \(\mathbf{J}\) — вектори магнітного векторного потенціалу, індукції, напруженості магнітного поля та густини вимушених струмів відповідно; \(\mu\) — проникність осердя, \(W_m\) — магнітна енергія, пов'язана з потоком розсіювання, а \(I_{sm}\) — максимальний вторинний струм.

Тоді загальний реактивний опір розсіювання розраховується на основі розподілу магнітного поля та формул (17) і (18) (Таблиця 6).

Таблиця 6. Порівняння результатів розрахунків та вимірювань загального реактивного опору розсіювання обмоток трансформатора напруги з намотаним осердям, коефіцієнт трансформації 15/√3 /0.1/√3 кВ та потужність 100 ВА.

3.1.2. Пряме визначення характеристик амплітудних похибок та фазового зсуву з використанням польово-контурних методів

Розв'язання польово-контурним методом з використанням рівнянь типу Гельмгольца (10)–(12) дозволяє визначити комплексні значення вторинного струму. Потім, на основі формул (1) та (2), визначаються характеристики похибки струму та фазового зсуву при струмах, встановлених стандартом [5] (Таблиця 1 та Таблиця 2) від 5 до 120% номінального значення та при імпедансному навантаженні (в діапазоні від 0.25 до 1 його номінального значення) [17,25,27,28,29,30,31].

Як приклад, були проведені розрахунки та вимірювання для двох різних типів прохідних трансформаторів струму, показаних на рисунку 3: вимірювального трансформатора струму з тороїдальним осердям та коефіцієнтом трансформації 600 А/5 А [27] та захисного з коефіцієнтом трансформації 200 А/5 А з регульованим повітряним зазором.

Рисунок 3. Розподіл магнітної індукції [Т] в (а) вимірювальному трансформаторі струму 600 А/5 А з тороїдальним осердям та (b) осерді захисного трансформатора струму 200 А/5 А в усталеному режимі при номінальних умовах.

Порівняння (Рисунок 4 та Таблиця 7) показує відповідність похибок трансформації, визначених безпосередньо польово-контурними методами та експериментально.

Рисунок 4. Порівняння (а) характеристик похибки струму та (b) фазового зсуву за результатами розрахунків та випробувань для трансформатора струму 600 А/5 А з тороїдальним осердям при номінальному навантаженні \(S_n\) = 2.5 ВА, \(\cos\varphi\) = 0.8 \((I_{pn}) = 600 А\).

Таблиця 7. Похибки нелінеаризованого захисного трансформатора струму 200 А/5 А в номінальних умовах в усталеному режимі при \(S\) = 5 ВА.

3.1.3. Робота трансформаторів струму в перехідних режимах

У енергетичних мережах трапляються такі аварії, як короткі замикання та обриви проводів. У цьому випадку в системі виникають перехідні режими. Існує значна кількість літератури з цієї теми, але найбільш використовувані аналітичні методи застосовують еквівалентну схему [32,33,34,35,36,37,38,39,40]; більшість елементів цієї схеми визначаються польовим методом [15].

Лабораторії випробувань на короткі замикання призначені для перевірки роботи пристроїв захисту енергосистем та проведення базових конструкторських випробувань компонентів енергосистеми.

Трансформатори струму короткого замикання є обладнанням лабораторій короткого замикання, в яких випробовуються компоненти, що працюють в енергосистемах. Коротке замикання в енергомережі є раптовою аварією; тому трансформатори струму короткого замикання повинні бути розроблені для правильної роботи в перехідному режимі. Під час випробувань використовуються великі струми порядку кА, і з метою безпеки вимірювання проводяться при струмі 5 А. Тому використовуються каскадні трансформатори струму. Каскад має кілька осердь з первинними та вторинними обмотками, з'єднаними таким чином, що вторинна обмотка першого осердя є первинною обмоткою наступного. Під час проектування необхідно перевірити поведінку захисного трансформатора струму в перехідному режимі. Насамперед, осердя не повинні насичуватися та спотворювати струми, а також повинні відповідати вимогам до трансформаторів струму захисту від перенапруг (TP); тобто максимум миттєвої пікової похибки (6) не повинен перевищувати 10% похибки для всіх наступних пікових форм кривої струму протягом певного циклу перехідного комутування.

Тому необхідний повний 3D просторово-часовий аналіз польово-контурної моделі (13)–(15). Він пропонує можливості, які не можуть забезпечити навіть експериментальні дослідження.

Він дозволяє оцінити насичення окремих осердь каскаду, побачити форми кривих усіх струмів і, перш за все, струмів, що з'єднують обмотки каскаду, які неможливо спостерігати та виміряти на осцилографі [30].

Як приклад наведено аналіз роботи каскадного трансформатора струму 50 000 А/5 А для вимірювання струмів короткого замикання. Розроблений та виготовлений заводським прототипом трансформатора струму, він має гільзову конструкцію та кільцеподібні осердя без зазорів (Рисунок 5).

Максимум миттєвої пікової похибки не перевищує 10% (максимум становить 0.72%) (Таблиця 8, Рисунок 6 та Рисунок 7). Значення індукції 1.47 Т (Рисунок 5) є нижчим за індукцію насичення, і трансформатор струму короткого замикання відповідає вимозі не спотворювати форму кривої (Рисунок 7).

Рисунок 5. Розподіл густини магнітного потоку (Т) в осердях трансформатора струму короткого замикання 50 000 А/5 А у перехідному стані в момент часу: (а) 0.01 с — пік 1 (135.24 кА) та (b) 0.03 с — пік 2 (128.38 кА).

Таблиця 8. Підсумки результатів прототипних випробувань на коротке замикання 50 кА/5 А при сталій часу \(T_p\) = 190 мс, \(K_{ssc}\) = 2.76 та навантаженні \(R\) = 0.88 Ω.

Рисунок 6. Відносні відсоткові похибки на вибраних піках струму для прототипу трансформатора струму короткого замикання 50 кА/5 А при \(T_p\) = 190 мс, \(K_{ssc}\) = 2.76 та навантаженні \(R\) = 0.88 Ω.1

Рисунок 7. Розраховані форми кривих (а) первинного та (b) вторинного струмів короткого замикання в першому каскаді (зв'язувальна обмотка) та (c) у другому каскаді.

3.1.4. Лінеаризація осердь трансформаторів струму за допомогою повітряних зазорів

Осердя захисних трансформаторів струму типу TPZ повинні бути лінеаризовані, щоб вони не працювали в області насичення характеристики намагнічування та правильно передавали великі струми, що виникають під час аварії в енергосистемі. Стандарт визначає допустиме значення миттєвої пікової похибки змінної складової струму \(\hat{\epsilon}_{ac}\) (5)–(7) (Таблиця 5).

Захисні трансформатори струму класу TPZ мають осердя з повітряними зазорами, які повинні гарантувати лінійність характеристики намагнічування. Досвід показує, що не тільки загальна довжина повітряних зазорів, але й кількість та довжина окремих повітряних зазорів впливають на миттєвий струм короткого замикання захисного трансформатора струму.

Розрахунок миттєвої форми кривої струму похибки аналітичними методами полягає в оцінці ступеня насичення осердя трансформатора струму та визначенні, чи не буде деформована періодична складова струму намагнічування.

Оцінка проводиться на основі участі неперіодичної складової в кривій первинного струму короткого замикання (4) та необхідної еквівалентної характеристики намагнічування осердя з повітряними зазорами [9].

Основна складність та джерело помилок у цьому підході до проектування захисних трансформаторів струму полягає в нездатності передбачити розподіл магнітного поля в осерді з повітряними зазорами та, таким чином, правильно визначити його еквівалентну характеристику намагнічування.

Найбільшою помилкою є використання інженером-проектувальником захисних трансформаторів струму наближеної формули [35,36,37,38,39,40], що передбачає рівномірний розподіл поля в осерді:

(19)

\( H_{Fe}l_{Fe} + H_p l_a = I_p \cdot n_p \)

де \(l_a\) — загальна довжина повітряних зазорів; \(l_{Fe} = 2\pi r_m\) — середня довжина в феромагнетному матеріалі; \(I_p n_p\) — ампер-витки.

Багато дослідників цікавляться цим питанням і використовують наближені аналітичні рішення [9,35,36,37,38,39,40], засновані на формулі (19), а деякі також підвищують точність моделювання трансформатора струму з повітряним зазором, враховуючи петлі гістерезису на основі теорії Прейсаха [38,39,40] або PSCAD/EMTDC [38].

Це припущення про рівномірний розподіл поля в осерді є хибним і, як наслідок, дає помилковий результат як щодо миттєвого струму похибки, так і щодо форми еквівалентної характеристики намагнічування. Наслідком є неправильна крива миттєвого струму похибки і, отже, неправильна оцінка спроектованого трансформатора струму.

Тому слід використовувати тривимірні моделі трансформаторів струму (Рисунок 8 та Рисунок 9) та вирішувати проблеми за допомогою чисельного польово-контурного методу [21,22,24].

Рисунок 8. 3D модель тороїдального захисного трансформатора струму TPZ з коефіцієнтом трансформації 1200 А/1 А.

Рисунок 9. Розподіл магнітної індукції [Т] в осерді захисного трансформатора струму з (а) 2, (b) 4 та (c) 8 повітряними зазорами (з однаковою загальною довжиною зазору \(\delta\) = 24 мм) у площині XY та (d) в околицях повітряних зазорів у площині XZ у перехідному стані в момент часу \(t\) = 0.054 с при однаковому первинному струмі \(i_p = 30\sqrt{2}(\cos314.16t - e^{-20t}\)) кА.

Хоча автори статті [32] використовували FEM, вони виконували лише 2D розрахунки в поперечному перерізі осердя. Проте магнітний потік поширюється в повітряний зазор не тільки в напрямку довжини осердя (Рисунок 9d). Отже, це є значним наближенням і не дає точних результатів.

Оцінка роботи вимірювального трансформатора при несинусоїдальному живленні або захисного трансформатора струму TPZ при короткому замиканні в лінії електропередачі в перехідному режимі (для якого він призначений) вимагає використання повного просторово-часового польово-контурного 3D аналізу (13)–(15) [23].

На рисунку 10 показано, як змінюється форма кривих миттєвого струму похибки в залежності від часу при використанні осердя з різною кількістю повітряних зазорів, але з однаковою загальною довжиною. Видно, що при використанні лише двох повітряних зазорів форма кривої спотворюється. Це є причиною для дискваліфікації такого проекту. Миттєві піки похибки змінної складової струму вимагалися стандартом [4] і були розраховані на основі кривих миттєвого струму похибки, показаних на рисунку 10, та формули (7).

Рисунок 10. Миттєва похибка струму в залежності від часу (у перерахунку на вторинну обмотку) для конструкцій осердь захисних трансформаторів струму з різною кількістю повітряних зазорів (загальна довжина повітряних зазорів осердь була постійною) при первинному струмі \(i_p = 30\sqrt{2}(\cos314.16t - e^{20t})\) кА.

Еквівалентний «ефективний повітряний зазор» завжди менший за загальну довжину повітряних зазорів через нерівномірний розподіл магнітного поля в осерді (Рисунок 9). Найбільша розбіжність спостерігається там, де розподіл поля є найбільш нерівномірним, тобто при невеликій кількості великих повітряних зазорів (Таблиця 9). Значення довжини еквівалентного «ефективного повітряного зазору» залежить від багатьох параметрів одночасно і не може бути розраховане без використання тривимірного польового аналізу.

Таблиця 9. Порівняння пікових миттєвих похибок змінної складової струму для осердь захисних трансформаторів струму з різною кількістю повітряних зазорів, отриманих за допомогою польово-контурного методу та експерименту.

*— осердя насичене, і трансформація струму відбувається некоректно (Рисунок 10).

3.1.5. Робота вимірювальних трансформаторів при спотворених напругах живлення

Все частіше розподільні мережі живляться від розподілених генеруючих установок з нерівномірним виробництвом електроенергії та навантажуються нелінійними приймачами [38]. Винятковими випадками розподіленої генерації є установки відновлюваної енергетики з електричною потужністю до 40 та 200 кВт. Серед них найпопулярнішими є сонячні панелі та невеликі вітрові електростанції.

Дуже важливим питанням є точність вимірювань потужності на передавальних та розподільних підстанціях [41,42]. Вимірювальні трансформатори є елементами системи вимірювання потужності. Стандарти Міжнародної Електротехнічної Комісії (IEC/EN) [3,4,5] зобов'язують проектувальників виявляти та зменшувати ці похибки (Таблиця 1, Таблиця 2 та Таблиця 3). Саме тому багато авторів займаються цією темою [41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51]. Дослідження в основному стосуються точних методів вимірювання та використовують аналітичні методи для опрацювання цього явища. Особливо цікавою є стаття про вплив форми характеристики намагнічування осердя трансформатора струму (генеровані гармоніки через нелінійність) на точність трансформації струму вимірювальним трансформатором [44].

У дослідженні [50] представлено переваги використання повного тривимірного просторово-часового аналізу магнітного поля (13)–(15) для розрахунку форми кривої вторинної напруги при спотвореному живленні. Це відкриває можливості, які не можуть забезпечити аналітичні методи.

Дослідження, проведені на основі дуже наближених аналітичних моделей, не враховували більшість явищ, які є частиною тривимірних розрахунків електромагнітного поля. Можна отримати форму кривої струму або вторинної напруги та точно розрахувати фазовий зсув, а також виконати дискретний аналіз Фур'є вторинних кривих. Результати розрахунку для конкретного трансформатора напруги 2000 В/100 В (Рисунок 11) показані у вигляді спотвореної форми кривої первинної напруги на рисунку 12 та в таблиці 10 у вигляді похибок трансформації при первинній синусоїдальній та спотвореній напрузі.

Рисунок 11. 3D геометрична модель вимірювального трансформатора напруги 2000 В/100 В.

Рисунок 12. Крива спотвореної первинної напруги (де перша гармоніка частотою 50 Гц має амплітуду 100% — 2000 В, а п'ята гармоніка частотою 250 Гц має амплітуду 10% — 200 В або 40% — 800 В від номінальної), а коефіцієнт нелінійних спотворень (THD) становить 0.1 та 0.4.

Таблиця 10. Порівняння розрахованих та виміряних похибок напруги досліджуваного трансформатора напруги при спотвореній напрузі та навантаженні 2 МОм.

3.1.6. Розрахунок пікового значення напруги при розімкнутій вторинній обмотці трансформатора струму

Розімкнення вторинного кола трансформатора струму при номінальному первинному струмі призводить до того, що напруга на вторинних виводах досягає дуже високих значень, і в осерді виникають втрати потужності. Це становить небезпеку як для оператора, так і для ізоляції трансформатора струму, яка може бути пробита. Така ситуація може виникнути через поломку або неправильну експлуатацію. Проектувальник трансформатора струму повинен знати, яке пікове значення напруги може з'явитися на виводах спроектованого трансформатора струму та які можуть бути наслідки. Проведення такого випробування також неможливе з вищезазначених причин. Конструктор має дві аналітичні формули для визначення пікового значення напруги [9]:

(20)

\( u_{smax} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\omega L_\mu}{R_{Fe}}\right)^2}} \mu_{max} \sqrt{2 \frac{S_{Fe}}{l_{Fe}}} \omega n_s^2 I''_p \)

та [52]:

(21)

  \( u_{smax} \approx \sqrt{2 \frac{S_n}{I_{sn}}} \frac{100}{\text{class}} \)

а також емпіричну формулу (внутрішній, неопублікований лабораторний посібник):

(22)

  \( u_{smax} = k n_s S_{Fe} \)

де: \(L_\mu\), \(R_{Fe}\) — параметри еквівалентної схеми; \(n_s\) — кількість витків вторинної обмотки; \(S_{Fe}\) — площа поперечного перерізу осердя в см²; \(\mu_{max}\) — найвище значення статичної магнітної проникності на початку характеристики намагнічування осердя; \(I_p\) — первинний струм; \(S_n\) — потужність; \(I_{sn}\) — номінальний вторинний струм; \(k\) — константа, що дорівнює (0.5 ÷ 1.4) В/см²; ці параметри дають розбіжні результати (Таблиця 11).

Таблиця 11. Пікові значення вторинної напруги модельного трансформатора при номінальному первинному струмі та розімкнутому вторинному колі.

Рисунок 13. Криві потоку та вторинної напруги при розімкнутому вторинному колі та номінальному первинному струмі, розраховані для лабораторного трансформатора струму 5 А/5 А.

3.1.7. Осердя, що складаються з різних магнітних матеріалів

Покращення вимірювальних властивостей трансформаторів струму (Таблиця 1 та Таблиця 2) без зміни їхніх розмірів вимагає використання високоякісних магнітних матеріалів. Саме тому конструктори проводять дослідження конструкцій комбінованих тороїдальних осердь, що включають нанокристалічні матеріали [25,27,28,51] (Рисунок 14).

Рисунок 14. Розподіл магнітної індукції [Т] в вимірювальних трансформаторах струму 200 А/5 А з осердям, виготовленим з: (а) сталі, (b) комбінованої сталі та нанокристалічного матеріалу (20%) при однаковому первинному струмі \(I_p\) = 200 А та навантаженні \(S_n\) = 7.5 ВА \((\cos\varphi\) = 0.8).

Перевагою нанокристалічних матеріалів є значно вище значення магнітної проникності, ніж у електротехнічної сталі на початку характеристики намагнічування (Рисунок 15а). Використання осердя з нанокристалічного матеріалу дозволяє значно зменшити похибки трансформації трансформаторів струму (в початковому діапазоні) та отримати низький коефіцієнт безпеки FS. На рисунку 15б представлені розраховані результуючі характеристики намагнічування при використанні різних пропорцій нанокристалічного матеріалу та електротехнічної сталі в тороїдальному осерді.

Рисунок 15. Магнітні характеристики (а) матеріалів осердя (випробування) та (b) еквівалентні магнітні характеристики осердь, виготовлених з різних пропорцій двох різних магнітних матеріалів (20%, 40%, 60%, 80% нанокристалічних) (загальна висота осердя постійна), розраховані за допомогою польово-контурного методу.

Однак серйозним недоліком є низьке значення їхньої індукції насичення. Це призводить до збільшення похибок трансформації струму при великих первинних струмах та високих навантаженнях. Виходом із цієї ситуації є використання осердь, виготовлених як з електротехнічної сталі, так і з нанокристалічного матеріалу.

Як приклади обрано два типи трансформаторів струму: 200 А/5 А (Рисунок 14) та 100 А/5 А (Рисунок 16). 

Конструктори, які використовують метод польово-контурного моделювання, можуть точно прогнозувати розподіл магнітного поля в обох частинах осердя, виготовлених з різних матеріалів (Рисунок 14), а також точно визначати похибки трансформації, що визначають клас точності трансформатора струму (Таблиця 1 та Таблиця 2, Рисунок 17) або еквівалентні магнітні характеристики осердь, виготовлених з різних матеріалів (Рисунок 15b та Рисунок 16b) [25, 27, 28].

Рисунок 16. 3D модель (а) вимірювального трансформатора струму 100 А/5 А та (b) розподіл магнітної індукції [Т] у вимірювальних трансформаторах струму з осердям, виготовленим з нанокристалічного матеріалу, при номінальному первинному струмі \(I_{pn}\) = 100 А та навантаженні \(S_n\) = 2.5 ВА, \(\cos\varphi\) = 0.8.

Рисунок 17. Порівняння результатів характеристик похибки струму (а) та фазового зсуву (b) за результатами розрахунків та випробувань для трансформаторів струму 100 А/5 А з осердям, виготовленим з трансформаторної сталі, нанокристалічного матеріалу та комбінації цих матеріалів у пропорції 50% при однаковому навантаженні \(S_n\) = 2.5 ВА, \(\cos\varphi\) = 0.8 \((I_{pn}\) = 100 А).

Для вирішення обговорюваного питання слід застосувати рівняння Гельмгольца, записане в комплексній часово-гармонічній формі (10)–(12).

Ефекти, які можна отримати в осердях, виготовлених з електротехнічної та нанокристалічної стрічок, надають додаткові можливості для покращення виробництва трансформаторів струму та створення нового, якіснішого покоління цих пристроїв з кращими параметрами (Рисунок 17) [25,27,28].

3.1.8. Формування ізоляційної системи високовольтних та середньовольтних трансформаторів

Можна розрахувати розподіл електричного поля, а потім сформувати обмотки та ізоляцію таким чином, щоб зменшити пікові значення напруженості електричного поля та оцінити електричну міцність.

4. Висновки